Une culture de bactéries

Les bactéries se multiplient par mitose : il s'agit de la division d'une cellule, appelée cellule mère, en deux cellules identiques, appelées cellules filles.
Les Escherichia coli, dans des conditions de reproduction idéales, ont un temps de génération, c'est-à-dire le temps nécessaire à doubler leur effectif par mitose, de `20` minutes. Cela signifie que, si l'on considère une culture de `100` bactéries Escherichia coli, au bout de `20` minutes, elles seront `200`, au bout de `40` minutes elles seront `400`, et ainsi de suite.
L'objectif de cette activité est de prévoir le nombre de bactéries dans la culture au bout d'un temps donné, en minutes.

Partie A : modélisation par une suite numérique

On modélise le nombre d'Escherichia coli dans la culture au bout de \((20\times n)\) minutes par les termes d'une suite \((u_n)\), \(n\) étant un entier naturel.
Ainsi, au début de l'observation, `n=0` et on a \(u_0 = 100\).

1. Quelles sont les valeurs de \(u_1\) et \(u_2\) ? Combien de bactéries seront présentes au bout d'une heure ?
2. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
3. Justifier que, pour tout \(n\) entier naturel, \(u_n =100\times 2^{n}\).
4. Quel est le sens de variation de la suite \((u_n)\) ?
5. Combien de bactéries y a-t-il au bout d'un jour ?

Partie B : nombre de bactéries au bout de \(10\) minutes

On souhaite prévoir le nombre \(a\) de bactéries qui seront présentes dans la culture au bout de \(10\) minutes, c'est-à-dire à la moitié d'un temps de génération.
1. Donner un ou plusieurs arguments permettant de convaincre du fait que  \(a=\dfrac{100+200}{2}=150\) ne convient pas.

Supposons (et c'est bien raisonnable) que le taux d'évolution du nombre de bactéries reste constant sur des intervalles de temps égaux. 
2. Justifier que l'on a \(\dfrac{a}{100}=\dfrac{200}{a}\). En déduire que \(a^2=200\). 
3. Calculer la valeur de \(a\) arrondie à l'unité.
4. Calculer le nombre de bactéries au bout de \(30\) minutes, puis au bout de \(50\) minutes.
5. En considérant le nombre de bactéries présentes dans la culture à \(0\) minute et à \(10\) minutes, calculer le nombre de bactéries présentes dans la culture au bout de \(5\) minutes, puis au bout de \(15\) minutes suivant ce modèle.
6. Compléter le tableau suivant.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Temps en minutes} \ &\color{blue}{0}&\color{green}{5}&\color{orange}{10}&\color{magenta}{15}&\color{blue}{20}&\color{green}{25}&\color{orange}{30}&\color{magenta}{35}&\color{blue}{40}\\ \hline \text{Nombre de bactéries}&\color{blue}{100}&\color{green}{}&\color{orange}{}&\color{magenta}{}&\color{blue}{200}&\color{blue}{}&\color{green}{}&\color{orange}{}&\color{blue}{400}\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

Partie C : vers la fonction exponentielle

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre le nuage de points bleus, représentatif de la suite `(u_n)`.
1. Cocher la première case : des points oranges apparaissent. Que représentent-ils ?
2. Cocher la deuxième, puis la troisième case : des points verts et roses apparaissent. Que représentent-ils ?

On peut décrire le procédé entrepris comme un moyen d'« intercaler » des points entre deux termes de la suite géométrique `(u_n)` sous la condition que les valeurs calculées suivent la même évolution que les termes de la suite.
Cela permet de conjecturer l'existence d'une fonction, définie pour tout nombre réel `x`, dont la courbe représentative passe par tous les points déjà représentés à partir des termes de la suite `(u_n)`.
3. Cocher les deux dernières cases et observer la courbe représentative de cette fonction.
Il s'agit d'une fonction exponentielle.
Par lecture graphique, donner le signe et les variations de la fonction exponentielle définie, pour tout nombre réel `x`, par \(f(x)=100\times 2^{0,02x}\).
4. En calculant des images, retrouver les valeurs du tableau réalisé dans la partie B.
5. Déterminer le nombre de bactéries au bout de 23 minutes.